Módulos Matemáticos em Python: Decimal e Frações

Até as operações matemáticas mais básicas podem, retornar valores errados. Isso é pelas limitações no armazenamento do valor de alguns números. Podemos passar pelas limitações usando o módulo decimal de Python. De forma similar, nem math ou cmath, que vimos no tutorial anterior, podem nos ajudar em aritimética de frações. Contudo, o módulo fractions do Python consegue.

Nesse tutorial, aprenderemos ambos os módulos e as diferentes funções disponíveis.

Por Que Precisamos de um Módulo Decimal?

Devemos nos perguntar o porque de precisar de um módulo para cálculos aritiméticos basico com números decimais quando já podemos usar pontos flutuantes.

Antes de responder a pergunta, gostaríamos que tentassem adivinhar o retorno de 0.1 + 0.2 se usando no console do Python. Se dissermos 0.3, tomaremos um susto ao verificar o resultado, que é 0.30000000000000004. Podemos tentar outros cálculos, como 0.05 + 0.1 que dá 0.15000000000000002.

Para entender o que acontece, tentemos representar 1/3 na forma decimal e percebamos que é uma dízima períodica na base 10. De forma similar, números como 0.1 (1/10) são dízimas periódicas na base 2. Como esse números ainda precisam de alguma representação, algumas aproximações são feitas durante seus armazenamentos, resultando em erros.

O número 0.30000000000000004 é bem próximo de 0.3, assim podemos esquecer a aproximação na maioria dos casos. Infelizmente, essa aproximação não pode passar quando simulamos o lançamento de um satélite ou lidando com dinheiro. Outro problema dessas aproximações é que os erros viram uma bola de neve.

Para obter resultados precisos como os que temos quando realizamos os cálculos à mão, precisamos de algo que suporte cálculo artitimético de pontos flutuantes rápidos e arredondados corretamente, e o módulo decimal faz isso.

Usando o Módulo Decimal

Antes de usá-lo, devemos importá-lo primeiro. Depois, podemos criar decimais a partir de inteiros, pontos flutuantes, cadeias de caracteres ou tuplas. Quando o decimal é criado de um inteiro ou ponto flutuante, a conversão é exata do valor para o número. Vejamos os exemplo abaixos para entender melhor:

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from decimal import Decimal

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Decimal(121)

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# returns Decimal('121')

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Decimal(0.05)

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# returns Decimal('0.05000000000000000277555756')

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Decimal('0.05')

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# returns Decimal('0.05')

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Decimal((0, (8, 3, 2, 4), -3))

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# returns Decimal('8.324')

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Decimal((1, (8, 3, 2, 4), -1))

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# returns Decimal('-832.4')

Como vemos, o valor Decimal(0.05) é um pouco diferente de Decimal('0.05'). Isso significa que ao adicionar 0.05 e 0.1, devemos usar decimal.Decimal('0.05') e decimal.Decimal('0.1') para criar os decimais.

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from decimal import Decimal

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Decimal('0.05') + Decimal('0.1')

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# returns Decimal('0.15')

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Decimal(0.05) + Decimal(0.1)

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# returns Decimal('0.1500000000000000083266726847')

Agora que podemos realizar várias operações em decimais, queremos controlar a precisão ou arredondamento das operações. Isso pode ser feito usando a função getcontext(). Essa função permite-nos tanto obter quando configurar o valor da precisão e arredondamento, e outras coisas.

Tenhamos em mente que tanto arredondamento e precisão entram em jogo durante operações aritiméticas e não apenas quando criamos decimais em si.

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import decimal

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from decimal import Decimal, getcontext

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Decimal(1) / Decimal(13)

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# returns Decimal('0.07692307692307692307692307692')

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getcontext().prec = 10

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Decimal(0.03)

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# returns Decimal('0.02999999999999999888977697537')

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Decimal(1) / Decimal(7)

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# returns Decimal('0.1428571429')

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getcontext().rounding = decimal.ROUND_DOWN

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Decimal(1) / Decimal(7)

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# returns Decimal('0.1428571428')

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Também podemos usar algumas funções matemáticas como sqrt(), exp() e log() com decimais. Eis alguns exemplos:

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import decimal

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from decimal import Decimal, getcontext

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Decimal(2).sqrt()

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# returns Decimal('1.414213562373095048801688724')

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7

getcontext().prec = 4

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Decimal('2').sqrt()

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# returns Decimal('1.414')

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Decimal('2000').log10()

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# returns Decimal('3.301')

Usando o Módulo Fractions

Algumas vezes, lidamos com sitações onde precisamos realizar várias operações em franções ou o resultdo final precisa ser uma fração. O módulo fração pode ser de muita ajuda nessas horas. Ele permite criar uma instância de Fraction a partir de números, pontos flutuantes, decimais e até cadeias de caracteres. Como o módulo decimal, há alguns problemas ao criar frações a partir de pontos flutuantes. Eis alguns exemplos:

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from fractions import Fraction

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from decimal import Decimal

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Fraction(11, 35)

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# returns Fraction(11, 35)

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Fraction(10, 18)

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# returns Fraction(5, 9)

9

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Fraction('8/25')

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# returns Fraction(8, 25)

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Fraction(1.13)

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# returns Fraction(1272266894732165, 1125899906842624)

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Fraction('1.13')

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# returns Fraction(113, 100)

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Fraction(Decimal('1.13'))

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# returns Fraction(113, 100)

Também realizamos operações matemáticas simples (adição e subtração) em frações, como em números normais.

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from fractions import Fraction

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Fraction(113, 100) + Fraction(25, 18)

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# returns Fraction(2267, 900)

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Fraction(18, 5) / Fraction(18, 10)

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# returns Fraction(2, 1)

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Fraction(18, 5) * Fraction(16, 19)

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# returns Fraction(288, 95)

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Fraction(18, 5) * Fraction(15, 36)

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# returns Fraction(3, 2)

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Fraction(12, 5) ** Fraction(12, 10)

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# returns 2.8592589556010197

O modulo também possui alguns métodos importantes como limit_denominator(max_denominator) que encontrará e retornará a fração mais próxima de uma fração cujo denominar é, no máximo, max_denominator. Também podemos retornar o numerador de uma fração no menor termo, usando a propriedade numerator, e o denominador usando a propriedade denominator.

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from fractions import Fraction

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Fraction('3.14159265358979323846')

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# returns Fraction(157079632679489661923, 50000000000000000000)

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Fraction('3.14159265358979323846').limit_denominator(10000)

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# returns Fraction(355, 113)

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Fraction('3.14159265358979323846').limit_denominator(100)

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# returns Fraction(311, 99)

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Fraction('3.14159265358979323846').limit_denominator(10)

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# returns Fraction(22, 7)

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Fraction(125, 50).numerator

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# returns 5

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Fraction(125, 50).denominator

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# returns 2

Também podemos usar o módulo com várias funções de math para realizar cálculos de frações.

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import math

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from fractions import Fraction

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math.sqrt(Fraction(25, 4))

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# returns 2.5

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math.sqrt(Fraction(28,3))

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# returns 3.0550504633038935

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math.floor(Fraction(3558, 1213))

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# returns 2

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Fraction(math.sin(math.pi/3))

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# returns Fraction(3900231685776981, 4503599627370496)

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Fraction(math.sin(math.pi/3)).limit_denominator(10)

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# returns Fraction(6, 7)

Pensamentos Finais

Esse dois módulos devem ser suficientes para ajudar a realizar operações comuns tanto em decimais quanto frações. Como vimos na última seção, podemos usá-los junto do módulo math para calcular o valor de todo tipo de função matemática no formato desejado.

No próximo tutorial da série, aprenderemos sobre o módulo random em Python.